Знайдіть відношення катетів прямокутного трикутника, якщо висота і проекція одного з катетів дорівнюють по 7 см

Срочно.

Ответ учителя по предмету Геометрия

Ответ:

Вариант 1. Отношение катетов равно ВС/АС = 1.

Вариант 2. Отношение  равно ВС/АС = √(√5+1)/2).

Объяснение:

Уточним условие. Катет и его проекция (на гипотенузу) равными быть не могут, так как наклонная не может быть равна проекции. Высота, проведенная из прямого угла прямоугольного треугольника может быть равной проекции данного нам катета. Значит есть два варианта:

Первый: Один из катетов прямоугольного треугольника равен 7см, а высота, проведенныя из прямого угла, так же равна 7 см..

Второй: Один из катетов прямоугольного треугольника равен 7см и является высотой этого треугольника. Проекция второго катета на гипотенузу так же равна 7см.  

Тогда решение:

Вариант 1.

Проведем высоту СН к гипотенузе.

Тогда по условию СН = АН = 7 см.

Прямоугольный треугольник АНС равнобедренный, так как катеты равны (СН=АН). =>   ∠САВ = 45°  =>

В треугольнике АВС  ∠АВС = 45°  (по сумме острых углов прямоугольного треугольника) => треугольник равнобедренный (углы при основании равны) => катеты треугольника АВС равны и их отношение равно 1.

Вариант2.

Пусть дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. Высота из прямого угла СН² =  АН·ВН — свойство этой высоты.

Пусть АС = 7 см. Тогда ВН = 7см, АН = х см, АВ = (7+х)см.

По Пифагору:  ВС² = АВ² — АС² или ВС² = (7+х)² — 7². (1)

В прямоугольном треугольнике ВСН по Пифагору

ВС² = СН²+7². (2). СН² =  7·х (по свойству). =>

ВС² = 7·х+49.  (2)

Приравняв (1) и (2), получим: (7+х)² — 7² = 7х+49.  =>

49+14х+х² — 49 = 7х+49  =>  х²+7х-49 = 0.

х = (-7+√(49+4·49))/2  =  (-7+7√5)/2 см = 7(√5-1)/2.

Второй корень отрицательный и не удовлетворяет условию.

Итак, катет ВС =  √(7х +49) =>

ВС = √(49·(√5-1)/2 +49) = 7√(√5-1)/2 +1) = 7√(√5+1)/2).

ВС/АС = √(√5+1)/2).