Дослідіть функцію f(x)=2x^2-x4 та побудуйте її графік.
Нужно исследовать функцию. Прошу детально. 10-11 класс

Вопрос школьника по предмету Алгебра

Дослідіть функцію f(x)=2x^2-x4 та побудуйте її графік.
Нужно исследовать функцию. Прошу детально. 10-11 класс

Ответ учителя по предмету Алгебра

Дана функция у = 2х² — х⁴.

1.Область определения функции: x ∈ R, или -∞ < x < ∞.

2. Нули функции. Точки пересечения графика функции с осью ОХ.

2х² — х⁴ = 0,   х²(2 — х²) = 0. Тогда х² = 0 и (или) 2 — х² = 0.

x₁ = 0.

x₂ = √2.

х₃ = -√2.

Точки пересечения графика функции с осью ОУ при х = 0 ⇒ у = 0.

3. Промежутки знакопостоянства функции.

Для нахождения промежутков знакопостоянства функции y=f(x) надо решить неравенства f(x)>0, f(x)<0.

По пункту 2 имеем 4 промежутка значений аргумента, в которых функция сохраняет знак:

(−∞;−√2), (−√2;0)
, (0;√2), (√2;+∞
).

Для того, чтобы определить знак функции на каждом из этих промежутков, надо найти значение функции в произвольной точке из каждого промежутка. Точки выбираются из соображений удобства вычислений.

x = -2    -1    1     2
y = -8     1    1    -8.
В промежутках 
(−∞;−√2) и (√2;+∞) функция принимает отрицательные значения, в промежутках (−√2;0) и (0;√2) функция принимает положительные значения.

4. Симметрия графика (чётность или нечётность функции).

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
— x^{4} + 2 x^{2} = — x^{4} + 2 x^{2}
— Да
— x^{4} + 2 x^{2} = — -1 x^{4} — 2 x^{2}
— Нет
Значит, функция является чётной.

5. Периодичность графика — нет.

 6.Точки разрыва, поведение функции в окрестностях точек разрыва, вертикальные асимптоты — нет.

7. Интервалы монотонности функции, точки экстремумов, значения функции в точках экстремумов.

Находим производную заданной функции:

y’ = 4x — 4x³.

Приравниваем производную нулю: 4x — 4x³ = 4x(1 — x²) = 0, 

4x = 0,  x = 0. 

x² = 1,  х = 1,  x = -1.
Критических точек три: х = 0, х = 1,  x = -1.
Находим значения производной левее и правее от критических.

x =  -2     -1    -0.5    0     0.5     1       2 
y’ = 24      0    -1.5    0    1.5      0     -24.
Где производная положительна — функция возрастает, где отрицательна — там убывает. 
Убывает на промежутках (-oo, -1] U [0, oo).
Возрастает на промежутках (-oo, 0] U [1, oo).

8. Интервалы выпуклости, точки перегиба.

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: 
frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = 0.
Вторая производная 4 left(- 3 x^{2} + 1right) = 0.
Решаем это уравнение.
Корни этого уравнения:
x_{1} = — frac{sqrt{3}}{3}
x_{2} = frac{sqrt{3}}{3}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках [-sqrt(3)/3, sqrt(3)/3].

Выпуклая на промежутках (-oo, -sqrt(3)/3] U [sqrt(3)/3, oo).

9. Поведение функции в бесконечности. Наклонные (в частности, горизонтальные) асимптоты — нет.

10. Дополнительные точки, позволяющие более точно построить график.

11. Построение графика функции — дан в приложении.