докажите что 2^9+2^99 делится на 41

Вопрос школьника по предмету Алгебра

докажите что 2^9+2^99 делится на 41

Ответ учителя по предмету Алгебра

Будем использовать несколько раз формулу суммы кубов:

a³ + b³ = (a + b)(a² — ab + b²)

Данное выражение (2⁹ + 2⁹⁹) представим в виде произведения, и если хотя бы один из множителей разделится на 41, то и всё выражение разделится на 41.

 

2⁹ + 2⁹⁹ =  (2³)³ + (2³³)³ = (2³ + 2³³)( 2⁶ — 2³⁶+ 2⁶⁶) =

= (2³ + (2¹¹)³)( 2⁶ — 2³⁶+ 2⁶⁶) =

= (2 + 2¹¹)(2² – 2¹² + 2²²) ( 2⁶ — 2³⁶ + 2⁶⁶) =

= 2(1 + 2¹⁰)(2² – 2¹² + 2²²) ( 2⁶ — 2³⁶ + 2⁶⁶) =

= 2 (1 + 1024)(4 – 2¹² + 2²²) ( 2⁶ — 2³⁶+ 2⁶⁶) =

= 2 ∙ 1025 ∙ (4 – 2¹² + 2²²) ( 2⁶ — 2³⁶+ 2⁶⁶) 

Выражение 2⁹ + 2⁹⁹  имеет 4 множителя, один из которых делится на число 41. 

1025 : 41 = 25

А если хотя бы один из множителей разделился на 41, то значит и всё  выражение 2⁹ + 2⁹⁹ разделится на 41.