Докажите,что прямые ,проходящие через середины сторон треугольника ,перпендикулярные соответствующим сторонам ,пересекаются в одной точке

Вопрос школьника по предмету Геометрия

Докажите,что прямые ,проходящие через середины сторон треугольника ,перпендикулярные соответствующим сторонам ,пересекаются в одной точке

Ответ учителя по предмету Геометрия

Пусть дан треугольник ABC (рисунок прилагается). Проведем серединные перпендикуляры к AC и BC. Они пересекутся в точке O (они не могут быть параллельными, так как иначе AC и BC были бы параллельными, либо совпадали).

Теперь опустим из O высоту OM на AB и докажем, что она является и медианой.

Для треугольника BOC:

OK — медиана и высота, значит BO = OC (треугольник BOC равнобедренный).

Для треугольника AOC:

OL — медиана и высота, значит AO = OC (треугольник AOC равнобедренный)

Отсюда AO=BO. Значит OM — высота равнобедренного треугольника. Отсюда OM — медиана.

Что и требовалось доказать.