Длины сторон некоторого треугольника и диаметр вписанной в него окружности являются четыремя последовательными членами возрастающей арифметической прогрессии, Найдите все такие треугольники.

Вопрос школьника по предмету Геометрия

Длины сторон некоторого треугольника и диаметр вписанной в него окружности являются четыремя последовательными членами возрастающей арифметической прогрессии, Найдите все такие треугольники.

Ответ учителя по предмету Геометрия

Решение

Все треугольники, длины сторон которых пропорциональны 3, 4 и 5 (Египетский треугольник). В любом треугольнике 2r<hb a , т.е. диаметр вписанной в треугольник окружности меньше всех его сторон. Пусть 2r , a , b и c образуют возрастающую арифметическую прогрессию с разностьюd>0 . Ясно, что a=2r+d , b=2r+2d , c=2r+3d и p==3r+3d . Поскольку в любом треугольнике S=pr и S= , то pr= или pr2=(p-a)(p-b)(p-c) . Выразив в данном равенстве все величины через r и d получим 

(3r+3d)r2=(r+2d)(r+d)r,

откуда 3r=r+2
d 
, т.е. 
r=d 
, так как r>0 
, r+d>0 
. Следовательно, стороны равны 3
r 
, 4
r 
, 5
r 
. 


Ответ

Все треугольники, длины сторон которых пропорциональны 3, 4 и 5 (Египетский треугольник).