Две окружности с центрами O и O1, радиусы которых 3 и 5, касаются внешним образом в точке C. Прямая AB касается окружности меньшего радиуса в точке A, а другой- точке B. Через точку C проведена касательная, которая пересекает прямую AB в точке D. а) Докажите, что вокруг четырёхугольника AOCD можно описать окружность б) Найдите радиус этой окружности

Вопрос школьника по предмету Геометрия

Две окружности с центрами O и O1, радиусы которых 3 и 5, касаются внешним образом в точке C. Прямая AB касается окружности меньшего радиуса в точке A, а другой- точке B. Через точку C проведена касательная, которая пересекает прямую AB в точке D.
а) Докажите, что вокруг четырёхугольника AOCD можно описать окружность
б) Найдите радиус этой окружности

Ответ учителя по предмету Геометрия

а) ∠ОАВ=∠ОСД=90°.

В четырёхугольнике АОСД ∠АОС+∠АДС=360-(∠ОАД+∠ОСД)=360-(90+90)=180°. 

В четырёхугольнике АОСД суммы противолежащих углов равны, значит он вписанный.

доказано.

б) АО⊥АВ и ВО1⊥АВ, значит АО║ВО, значит ∠АОО1+∠ВО1О=180°.

АО=СО, АД=СД, значит ΔАДО=ΔСДО, значит ДО — биссектриса угла АОС.

Аналогично ДО1 — биссектриса угла ВО1С.

ДО и ДО1 биссектрисы односторонних углов, значит ∠ОДО1=90°.

В тр-ке ОО1Д ДС²=ОС·О1С=3·5=15.

В тр-ке СОД ОД=√(ОС²+ДС²)=√(9+15)=√24=2√6.

В тр-ке СОД радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.

R=ОД/2=√6 — это ответ.

Действительно, радиус описанной окружности около четырёхугольника равен радиусу описанной окружности вокруг любого из треугольников, образованных из его вершин.