Два натуральных числа отличаются на 10. Десятичная запись их произведения состоит из одних девяток. Найдите меньшее из этих чисел. 

Вопрос школьника по предмету Математика

Два натуральных числа отличаются на 10. Десятичная запись их произведения состоит из одних девяток. Найдите меньшее из этих чисел. 

Ответ учителя по предмету Математика

Пусть это числа n — 5, n + 5, n — целое.

Тогда (n — 5)(n + 5) + 1 = 10^k, k — натуральное.

n^2 — 24 = 10^k

n^2 = 10^k + 24

Пусть k >= 4. Тогда n^2 оканчивается на …0024, поэтому делится на 8, а n делится на 4, n = 4m

16m^2 = 10^(k — 3) * 1000 + 24

2m^2 = 10^(k — 3) * 125 + 3

Левая часть этого равенства чётная, а правая нечётная, значит, решений в этом случае нет.

k = 1, k = 2, k = 3 перебираются вручную, подходит только k = 3, при этом n^2 = 1024 и n = 32, а сами числа 27 и 37.

Ответ. 27.