В турнире по теннису участвовало 10 теннисистов, каждый сыграл с каждым по одному разу, ничьих не бывает. У всех теннисистов разные рейтинги. Известно, что теннисист с наименьшим рейтингом выиграл у теннисиста с наибольшим, а во всех остальных встречах победил теннисист с более высоким рейтингом. Сколькими способами можно выстроить 10 теннисистов ряд так, чтобы каждый выиграл у своего правого соседа (кроме крайнего, у кого правго соседа нет)?

Вопрос школьника по предмету Математика

В турнире по теннису участвовало 10
теннисистов, каждый сыграл с каждым по одному разу, ничьих не бывает. У всех теннисистов разные рейтинги. Известно, что теннисист с наименьшим рейтингом выиграл у теннисиста с наибольшим, а во всех остальных встречах победил теннисист с более высоким рейтингом. Сколькими способами можно выстроить 10
теннисистов ряд так, чтобы каждый выиграл у своего правого соседа (кроме крайнего, у кого правго соседа нет)?

Ответ учителя по предмету Математика

Ответ:

3

Пошаговое объяснение:

Всего было n * (n — 1) / 2 игр между профессионалами (в каждой такой игре победил профессионал), 2n * (2n — 1)/2 игр между любителями (соответственно, в таких играх побеждали любители) и n * 2n = 2n^2 игр, в которых приняли участие профессионал и любитель (допустим, в x из них победил профессионал, и в 2n^2 — x победил любитель).

Оценим возможное отношение числа побед профессионалов к числу побед любителей, оно равно

[*}

Это отношение будет наименьшим при x = 0, когда все любители обыграли всех профессионалов, тогда оно равно (n — 1)/(8n — 2).

Это отношение будет наибольшим при x = 2n^2 (это соответствует всем поражениям любителей в матчах с профессионалами), значение отношения (5n — 1)/(4n — 2).

Найдем, при каких n 7/5 попадает в этот промежуток:

Итак, все возможные n — 1, 2 и 3. Заметим, что общее количество игр 3n (3n — 1)/2 должно быть кратно 7 + 5 = 12, это выполнено только для n = 3.