в треугольнике abc угол acb=120, ac=cb=a. серединные перпендикуляры к сторонам ac и cb пересекаются в точке m. найдите расстояние от точки m до середины стороны ab.

Вопрос школьника по предмету Геометрия

в треугольнике abc угол acb=120, ac=cb=a. серединные перпендикуляры к сторонам ac и cb пересекаются в точке m. найдите расстояние от точки m до середины стороны ab.

Ответ учителя по предмету Геометрия

Расстояние от точки до прямой — длина перпендикулярного отрезка. 

В равнобедренном о АСВ углы при А и В равны (180°-120°):2=30°

К и Е — середины АС и ВС соответственно. 

След. АК=КС=СЕ=ВЕ=а/2

КЕ║АВ  по свойству  средней линии.

∠СКЕ=∠СЕК=30° (соответственные углам А и В при пересечении параллельных КЕ и АВ секущими). 

В четырехугольнике СКМЕ углы при К и Е равны 90° ( МК и МЕ — перпендикуляры)

. Сумма углов четырехугольника 360°. ⇒ ∠КМЕ=360°-2•90°=60°. 

∠ЕКМ=∠КЕМ=90°-30°=60°

∆ МЕК- равносторонний. 

Срединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке. ⇒ СМ — срединный перпендикуляр,  Н — середина АВ, и  АН=ВН, ⇒

СН — медиана и биссектриса ∆ АСВ. ∠НСВ=60°

СН противолежит углу 30° ⇒ СН=СВ:2=а/2

СЕ=а/2, СН=а/2 ⇒∆ НСЕ- равносторонний, НЕ=а/2. 

∠СМЕ=∠МЕН=30°

∆ МНЕ — равнобедренный. ⇒ МН⊥АВ, МН=ЕН=а/2. 

               * * * 

Или как вариант:

∆ АСВ — равнобедренный.  К и Е — середины АС и ВС соответственно. 

СЕ=а/2 

Срединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке. ⇒ СМ — срединный перпендикуляр к АВ.

СН ⊥AB — высота и биссектриса, ∠НСВ=60°

∆ НСВ прямоугольный, СН=ВС•cos60°=a•1/2=a/2

CЕ=СН,  угол НСЕ=60°, ⇒∆ НСЕ равносторонний  и НЕ=СЕ=а/2

В ∆ СМЕ  угол СМЕ=90°-60°=30°

В ∆ МНЕ ∠МЕН =∠СЕМ-∠СЕН=90°-60°=30°

∆ МНЕ — равнобедренный, ⇒

МН=НЕ=а/2