В треугольнике ABC на стороне AC нашлись такие точки D и E, что AB = AD и BE = EC (E между A и D). Точка F — середина дуги BC окружности, описанной около треугольника ABC. Докажите, что точки B, E, D, F лежат на одной окружности.

Вопрос школьника по предмету Математика

В треугольнике ABC на стороне AC нашлись такие точки D и E, что AB = AD и BE = EC (E между A и D). Точка F — середина дуги BC окружности, описанной около треугольника ABC. Докажите, что точки B, E, D, F лежат на одной окружности.

Ответ учителя по предмету Математика

дальше все жирные буквы будут означать вектора.

стороны АВС:

АС = 3*а; AB = 2*b; BC = AC — AB = 3*a — 2*b;

Поэтому ВЕ = ВС/2 = (3/2)*a — b;

Остюда

АЕ = АВ + ВЕ = 2*b + (3/2)*a — b = b + (3/2)*a;

BN = AN — AB = 2*a — 2*b = 2*(a — b) = 2*DM (это доказывает пункт б) :))

EN = AN — AE = 2*a — b — (3/2)*a = a/2 — b;