В трапеции АВСD отрезки АВ и СD являются основаниями. Диагонали трапеции пересекаются в точке К. Найдите площадь треугольника АКD, если АВ = 27 см, СD = 18см, АD = 3 см, ВС =6√2см.

Вопрос школьника по предмету Геометрия

В трапеции АВСD отрезки АВ и СD являются основаниями. Диагонали трапеции
пересекаются в точке К. Найдите площадь треугольника АКD, если АВ = 27 см, СD = 18см, АD = 3 см, ВС =6√2см.

Ответ учителя по предмету Геометрия

Проведём высоты СР и ДМ к основанию АВ. ДМ=СР.

АМ+ВР=АВ-МР=АВ-СД=27-18=9 см.

Пусть АМ=х, тогда ВР=9-х.

В тр-ке АДМ ДМ²=АД²-АМ²=9-х².

В тр-ке ВСР СР²=ВС²-ВР²=(6√2)²-(9-х)²=72-81+18х-х²=18х-9-х².

9-х²=18х-9-х²,

18х=18,

х=1. АМ=1 см.

ДМ²=9-1=8,

ДМ=2√2 см.

К основаниям трапеции через точку К проведём перпендикуляр НТ. НТ=ДМ.

По свойству трапеции треугольники АКВ и СКД подобны, значит АВ/СД=ТК/НК.

Пусть ТК=у, тогда НК=2√2-у.

27/18=у/(2√2-у),

54√2-27у=18у,

45у=54√2,

у=1.2√2. ТК=1.2√2 см.

S(АВД)=АВ·ДМ/2=27·2√2/2=27√2 см².

S(АКВ)=АВ·ТК/2=27·1.2√2/2=16.2√2 см².

S(АКД)=S(АВД)-S(АКВ)=27√2-16.2√2=10.8√2 см² — это ответ.