В сферу вписан конус с высотой, равной диаметру основания. Найдите площадь основания конуса, если площадь сферы равна 125

Ответ учителя по предмету Геометрия

Пусть R — радиус сферы, H и D — высота и диаметр основания конуса. По условию, H=D. Если рассечь сферу плоскостью, проходящей через её центр, то в сечении мы получим окружность радиуса R, описанную около равнобедренного треугольника с основанием D=H и боковыми сторонами a. Так как по условию площадь поверхности сферы равна 125, то получаем уравнение 4*π*R²=125. По свойству вписанного в окружность треугольника, R=a*a*H/(4*S)=a²*H/(4*S), где S — площадь треугольника. Но S=(H/2)*H=H²/2, а по теореме Пифагора a²=H²+(H/2)²=5*H²/4. Отсюда R=5*H/8 и H=8*R/5. Площадь основания конуса S1=π*(H/2)²=π*H²/4=0,64*π*R². А так как 4*π*R²=125, то S1/125=0,64*π*R²/(4*π*R²)=0,16. Отсюда S1=0,16*125=20. Ответ: 20.