В равнобедренном треугольнике ABC AC=CB=4, BAC=30, отрезок СМ-перпендикуляр к плоскости ABC, CM=4см. Найдите а) тангенс двугранного угла MABC б) угол между прямой АМ и плоскостью MBC

Вопрос школьника по предмету Геометрия

В равнобедренном треугольнике ABC AC=CB=4, BAC=30, отрезок СМ-перпендикуляр к плоскости ABC, CM=4см. Найдите а) тангенс двугранного угла MABC б) угол между прямой АМ и плоскостью MBC

Ответ учителя по предмету Геометрия

Ответ:

a)    tg∠MHC = 2

б) ∠(AM; (MBC)) = arccos(√10/4)

Объяснение:

a) Пусть Н — середина АВ, тогда СН — медиана и высота равнобедренного треугольника АВС,

СН ⊥ АВ.

СН — проекция МН на плоскость (АВС), значит

МН ⊥ АВ по теореме о трех перпендикулярах.

Тогда ∠МНС — линейный угол двугранного угла МАВС.

Из прямоугольного треугольника АСН:

СН = АС/2 = 2 см, как катет, лежащий против угла в 30°.

ΔМНС:   ∠МСН = 90°,

              tg∠MHC = MC / CH = 4 / 2 = 2

б) ∠ВАС = ∠ВСА = 30° как углы при основании равнобедренного треугольника АВС, ⇒

∠АСВ = 180° — 30° · 2 = 120°

Проведем АК⊥ВС, тогда ∠ АСК = 180° — 120° = 60° (по свойству смежных углов).

ΔАСК:   ∠АКС = 90°

∠САК = 90° — 60° = 30°.

КС = 1/2 АС = 2 см как катет, лежащий против угла в 30°.

ΔСКМ: ∠МСК = 90°, по теореме Пифагора

           МК = √(МС² + СК²) = √(16 + 4) = √20 = 2√5 см

СМ⊥(АВС) по условию, значит

СМ⊥АК,

АК⊥ВС по построению, ⇒ АК ⊥ (МВС), тогда

МК — проекция прямой АМ на плоскость (МВС) и значит

∠АМК = ∠(АМ; (МВС)) — искомый.

ΔАМС прямоугольный равнобедренный, значит его гипотенуза

АМ = СМ√2 = 4√2 см

ΔАМК:   ∠АКМ = 90°

             cos∠AMK = MK / AM = 2√5 / (4√2) = √10/4

∠AMK = arccos(√10/4)