в прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С вписана окружность, радиус которой равен 5 см , АВ=37см Найти площадь треугольника

Вопрос школьника по предмету Геометрия

в прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С вписана окружность, радиус которой равен 5 см , АВ=37см
Найти площадь треугольника

Отрезки касательных из одной точки до точек касания с окружностью равны.

Обозначим точки касания на АС —Р, на АВ-М, на ВС-К.

Пусть КВ=а.

Тогда КВ=МВ=а, АМ=АР=37-а.

Катет АС=37-а+5=42-а.

Катет ВС=а+5.

Гипотенуза АВ=37.

По т.Пифагора

АВ*=АС*+ВС²

Подставив найденные значения катетов и гипотенузы в это уравнение, получим квадратное уравнение

2а²-74а+420.

Решение этого уравнения дает два корня: 30 и 7, оба подходят, т.к. равны отрезкам АВ.

Тогда АС=42-7=35,

ВС=7+5=12

S ∆АВС=АС•BC:2=35•12:2=210 см²