В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 60 градусов. Высота, проведённая из вершины прямого угла равна 4 см. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника

Вопрос школьника по предмету Геометрия

В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 60 градусов. Высота, проведённая из вершины прямого угла равна 4 см. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника

Ответ учителя по предмету Геометрия

Пусть ABC — прямоугольный треугольник. AB u BC — катеты, AC — гипотенуза.

Угол ACB = 60°, тогда угол CAB = 180 — 90 — 60 = 30°

Катет BC противолежит углу 30° ⇒ такой катет равен половине гипотенузы. BC = AC/2

BD — высота, опущенная на гипотенузу. 

В прямоугольном треугольнике BCD:

СВD= 180 — 90 — 60 = 30°

BC — гипотенуза, СD u BD — катеты, причем СD противолежит углу 30° ⇒ CD = BC/2

По теореме Пифагора

BD² + CD² = BC²

4² + (BC/2)² = BC²

16 + BC²/4 = BC²

16 = 4BC²/4 — BC²/4

3BC²/4 = 16

3BC² = 64

BC² = 64/3

В прямоугольном треугольнике ABD:

AB — гипотенуза, AD u BD — катеты, причем BD противолежит углу 30° ⇒ AB = 2BD = 8

По теореме Пифагора

AB² + BC² = AC²

(2BD)² + 64/3 = AC²

(2 * 4)² + 64/3 = AC²

AC² = 64 + 64/3

AC² = 192/3 + 64/3

AC² = 256/3

AC=√(256/3)

AC = 16/√3

AC = 16√3 / 3 (cм)