В правильном четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен альфа .Найдите объем пирамиды если ее высота равна h

Вопрос школьника по предмету Геометрия

В правильном четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен альфа .Найдите объем пирамиды если ее высота равна h

Ответ учителя по предмету Геометрия

Пусть H — середина CD.

CH = a/2, ∠CSH = α/2

ΔCSH: ∠H = 90° 

           tg(α/2) = (a/2)/k

           a/2 = k·tg(α/2)

OH = AD/2 = a/2 (средняя линия ΔACD)

ΔSOH: ∠O=90°

           (a/2)² = k² — h² по теореме Пифагора

a/2 = k·tg(α/2)

(a/2)² = k² — h²

(a/2)² = k² ·tg²(α/2)

(a/2)² = k² — h²

k² ·tg²(α/2) = k² — h²

k² — k² ·tg²(α/2) = h²

k²(1 — tg²(α/2)) = h²

k² = h² / (1 — tg²(α/2))

a² = 4k² — 4h²

a² = 4h² / (1 — tg²(α/2)) — 4h² =

= 4h²(1/ (1 — tg²(α/2)) — 1) = 4h²((1 — 1 + tg²(α/2))/ (1 — tg²(α/2)) =

=  4h²(tg²(α/2) )/ (1 — tg²(α/2)) — это площадь основания

V = 1/3 Sосн·h = 1/3 · 4h² · tg²(α/2) / (1 — tg²(α/2)) · h =

= 4h³ · tg²(α/2)/ (3(1 — tg²(α/2)))