В правильной треугольной пирамиде DABC со стороной основания АВ, равной 30, боковое ребро равно 20. Точки N и М делят рёбра DA и DB в отношении 2:1, считая от вершины D. Плоскость α, содержащая прямую MN, перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость а делит высоту СЕ основания в отношении 8:1, считая от точки С.

б) Найдите площадь сечения пирамиды DABC плоскостью α.

Ответ учителя по предмету Геометрия

а) В прямоугольных тр-ках ДАО и ДВО NT⊥AO и МН⊥ВО.

Прямоугольные тр-ки ДАО и NAT подобны т.к. ∠А — общий. Аналогично подобны тр-ки ДВО и MКН, значит ОТ:ТА=ОН:НВ=ДN:NA=2:1.

ОА — радиус описанной окружности около основания пирамиды.

R=OA=a√3/3=30√3/3=10√3.

MN║АВ, MN║KP, значит КР║АВ, значит тр-ки АОВ и ТОН подобны по трём углам. 

ОЕ — радиус вписанной окружности в тр-ник АВС ⇒ ОЕ=СЕ/3.

ОО1:О1Е=ОТ:ТА=2:1 ⇒ О1Е=ОЕ/3=СЕ/9.

СО1=СЕ-О1Е-СЕ-СЕ/9=8·СЕ/9.

Итак, СО1:О1Е=(8СЕ/9):(СЕ/9)=8:1.

Доказано.

б) ДN:NA=2:1 ⇒ ДА:NA=3:1.

В подобных тр-ках ДАО и NAT ДA:NA=ДО:NT=3:1 ⇒ NT=ДО/3.

В тр-ке ДАО ДО²=АД²-ОА²=20²-(10√3)²=100,

ДО=10.

NT=10/3.

Так как КР║АВ, то тр-ки АВС и КРС подобны по трём углам. 

СО1:О1Е=8:1 ⇒ СЕ:СО1=9:8.

АВ:КР=СЕ:О1Е=9:8 ⇒ КР=8АВ/9=8·30/9=80/3.

В тр-ке ДАВ ДN:NA=2:1 ⇒ ДА:ДN=3:2.

AB:MN=ДА:ДN=3:2 ⇒ MN=2AB/3=2·30/3=20.

Площадь трапеции KMNP: 

S=NT·(KP+MN)/2=10·(80/3+20)/6=10(80/3+60/3)/6=10·140/18=700/9≈77.8 (ед²) — это ответ.