В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 4 см, а высота пирамиды равна 6 см. Найдите объем пирамиды.

Вопрос школьника по предмету Математика

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 4 см, а высота пирамиды равна 6 см. Найдите объем пирамиды.

Ответ учителя по предмету Математика

Ответ:

Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды определим как сумму площадей основания и боковой поверхности: S = Sосн + Sбок.

В основании лежит правильный треугольник, его площадь определим по формуле Sосн = a2√3 / 4, где а — сторона основания.

Площадь боковой поверхности определим как сумму площадей боковых граней. В правильной треугольной пирамиде боковые грани представляют собой равные равнобедренные треугольники, поэтому Sбок = 3 * 0,5 * а * h, где а — сторона основания, h — апофема.

Апофему найдем как гипотенузу прямоугольного треугольника, в котором катеты — высота пирамиды и радиус окружности, вписанной в основание: h = √ (r2 + H2).

Радиус окружности, вписанной в основание, определяем по формуле: r = a / 2√3.

r = a / 2√3 = 4 / 2√3 = 2 / √3;

h = √ (r2 + H2) = √ (4 / 3 + 36) = √ (112 / 3) = 4√7 / √3;

Sбок = 3 * 0,5 * а * h = 3 * 4 * 4√7 / 2√3 = 24√7 / √3;

Sосн = a2√3 / 4 = 16√3 / 4 = 4√3;

S = Sосн + Sбок = 4√3 + 24√7 / √3 ≈ 43,59 см2.

_(как то так)(я не очень уверена)_