В окружность вписан равносторонний треугольник ABC. На дуге AC взята произвольная точка M. Длины отрезков MA и MB соответственно равны 2 и 10. Найдите длину MC.

Ответ учителя по предмету Геометрия

Теорема косинусов для треугольника AМC

AC^2=AM^2+MC^2-2*AM*CM*cosAMC


Теорема косинусов для треугольника BМC

BC^2=BM^2+MC^2-2*BM*CM*cosBMC


AC=BC (треугольник равносторонний) Тогда AC^2=
BC^2


AM^2+MC^2-2*AM*CM*cosAMC=BM^2+MC^2-2*BM*CM*cosBMC

AM^2-2*AM*CM*cosAMC=BM^2-2*BM*CM*cosBMC

АМ и ВM знаем

2^2-2*2*CM*cosAMC=10^
2-2*10*CM*cosBMC
4-4*CM*cosAMC=100
-20*CM*cosBMC


Углы ВМС и ВАС равны, опираются на одну дугу. ВАС=60 — равносторонний треугольник.

Угол АМС=АМВ+ВМС=АСВ+ВАС=60+60=120

4-4*CM*cos120=100
-20*CM*cos60
4-4*CM*(-1/2)=100
-20*CM*1/2
4+2*CM=100
-10*CM
12*CM=96

СМ=8