В окружность вписан правильный треугольник и около окружности описан правильный треугольник. Докажите, что площадь описанного треугольника в 4 раза больше площади вписанного треугольника.

Вопрос школьника по предмету Геометрия

В окружность вписан правильный треугольник и около окружности описан правильный треугольник. Докажите, что площадь описанного треугольника в 4 раза больше площади вписанного треугольника.

Ответ учителя по предмету Геометрия

Окружность является вписанной для большого треугольника и описанной для маленького.

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен R = a/√3.

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен r = b/2√3.

Окружность является одновременно и вписанной и описанной, тогда a/√3 = b/2√3.

a = b/2.

a/b = 1/2.

Т.к. эти треугольник равносторонние, то все углы у них равны. Тогда они еще и подобны по I признаку.

Из подобия следует, что их площадь относятся как квадраты их сторон, т.е. S1/S2 = (a/b)² = 1/4.

Значит, площадь описанного треугольника в четыре раза больше вписанного.