В кубе abcda1b1c1d1 точка k середина ребра AD,точка L принадлежит CD и CL_LD=2:1.Через точки K,L и D1 проведена плоскость.Найдите угол между плоскостями KLD1 и ABC,а также площадь полученного сечения,если ребро куба равно а.

Вопрос школьника по предмету Геометрия

В кубе abcda1b1c1d1 точка k середина ребра AD,точка L принадлежит CD и CL_LD=2:1.Через точки K,L и D1 проведена плоскость.Найдите угол между плоскостями KLD1 и ABC,а также площадь полученного сечения,если ребро куба равно а.

Ответ учителя по предмету Геометрия

Пусть A — начало координат 

Ось X — AB

Ось Y — AD

Ось Z — AA1

Уравнение плоскости ABC

z=0

Координаты точек 

K(0;a/2;0)

L(a/3;a;0)

D1(0;a;a)

Направляющий вектор KL (a/3;a/2;0)

длина KL = a√(1/9+1/4)=a√13/6

Направляющий вектор D1K(0; -a/2; -a)

расстояние от D1 до KL — Высота сечения =

||  i     j     k  ||

|| 0  -a/2  -a || /(√13/6) = a √(19/13)

||a/3  a/2  0 || 

Площадь сечения половина основания на высоту

S=a^2 *√19/12

Уравнение плоскости KLD1 

mx+ny+pz+q=0

подставляем координаты точек 

an/2+q=0

am/3+an+q=0

an+ap+q=0

Пусть  n=2  тогда q = -a m= -3 p= -1

-3x+2y-z-a=0

косинус угла между 
KLD1 и ABC

cos a = 1/1/√(9+4+1)=1/√14