Висота конуса 12 см, радіус його основи 4 см. Площина перпендикулярна до осі конуса перетинає його бічну поверхню конуса по колу довжина якого 6П.Знайдіть відстань від вершини конуса до площини перерізу

Вопрос школьника по предмету Геометрия

Висота конуса 12 см, радіус його основи 4 см. Площина перпендикулярна до осі конуса перетинає його бічну поверхню конуса по колу довжина якого 6П.Знайдіть відстань від вершини конуса до площини перерізу

Ответ учителя по предмету Геометрия

Конус (прямой) образуется от вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Данный конус образован от вращения прямоугольного треугольника АОВ вокруг катета АО. АО является высотой (H= 12см) конуса, ОВ — второй катет — равен радиусу (R= 4 см) основания конуса. АВ — гипотенуза — образующая конуса. 

Плоскость, пересекающая боковую поверхность конуса по кругу, отсекает от первоначального конуса меньший конус с вершиной А. Меньший конус образован от вращения меньшего прямоугольного треугольника AO₁B₁, где AO₁ — катет и высота меньшего конуса (искомое расстояние от вершины до плоскости пересечения), О₁В₁ — второй катет — равен радиусу (r) окружности пересечения бОльшего конуса плоскостью. Длина этой окружности L=6π. АB₁ — образующая меньшего конуса. 

Угол ОАВ совпадает с углом О₁АВ₁. Угол АОВ и угол АО₁В₁ — прямые ⇒ Угол ABO = Углу АВ₁О₁ ⇒ равны тангенсы углов ABO и АВ₁О₁

Тангенс
 острого угла
 в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему.

                           AO          12
Tg угла ABO= ——— = ——— = 3

                          OB            4

                                AO₁

Tg угла АB₁O₁ = ———— = 3

                                O₁B₁

AO₁ = 3 * O₁B₁

Длина окружности = 2 * π * r = 6π ⇒ r = 3 (cм) ⇒ O₁B₁ = 3 (см)

AO₁ = 3 * 3 = 9 (см)

Расстояние от вершины конуса до сечения равно 9 см