Величины трёх последовательных углов четырехугольника, вписанного в окружность, относятся как 2:3:7. Найдите градусную меру четвертого угла и длину дуги окружности, на которую опирается меньший угол четырехугольника. Радиус окружности равен 12 см.  ​

Вопрос школьника по предмету Геометрия

Величины трёх последовательных углов четырехугольника, вписанного в окружность, относятся как 2:3:7. Найдите градусную меру четвертого угла и длину дуги окружности, на которую опирается меньший угол четырехугольника. Радиус окружности равен 12 см.  ​

Ответ учителя по предмету Геометрия

У четырёхугольника, вписанного в окружность, сумма противоположных углов равна 180 градусам. x — градусная мера одной части пропорции. Таким образом:

2x+7x=180°

9x=180°

x=20°

Другая пара углов

n — градусная мера четвёртого угла

3x+n=180°

60°+n=180°

n=120°

Углы четырёхугольника являются вписанными в окружность. Градусная мера дуг, на которые они опираются, в два раза больше (теорема о вписанных углах)

Наименьший угол: 2x=40°

Дуга, на которую опирается угол в 40°=80°

Надо найти, какую часть от всей длины окружности занимает эта дуга: 80°/360°=8/36=2/9

Длина окружности (C) высчитывается по формуле: 2pR

P≈3,14

C=12*2*3,14=75,36см

Дуга меньшего угла: 75,36*2/9≈16,75 см

Ответ: 120°; 16,75 см