Вопрос школьника по предмету Геометрия
Длины сторон некоторого треугольника и диаметр вписанной в него окружности являются четыремя последовательными членами возрастающей арифметической прогрессии, Найдите все такие треугольники.
Ответ учителя по предмету Геометрия
Решение
Все треугольники, длины сторон которых пропорциональны 3, 4 и 5 (Египетский треугольник). В любом треугольнике 2r<hb a , т.е. диаметр вписанной в треугольник окружности меньше всех его сторон. Пусть 2r , a , b и c образуют возрастающую арифметическую прогрессию с разностьюd>0 . Ясно, что a=2r+d , b=2r+2d , c=2r+3d и p==3r+3d . Поскольку в любом треугольнике S=pr и S= , то pr= или pr2=(p-a)(p-b)(p-c) . Выразив в данном равенстве все величины через r и d получим
(3r+3d)r2=(r+2d)(r+d)r,
откуда 3r=r+2
d
, т.е.
r=d
, так как r>0
, r+d>0
. Следовательно, стороны равны 3
r
, 4
r
, 5
r
.
Ответ
Все треугольники, длины сторон которых пропорциональны 3, 4 и 5 (Египетский треугольник).
Похожие вопросы от пользователей
1. My mother _____ (not like) fish.
2. Ann _____ (not read) now. She _____ (write) a letter.
3. He _____ (to work) at a factory last year.
4. _____ you _____ English? (speak)
5. Look! Tom _____ (not work). He _____ (listen) musik.