Вопрос школьника по предмету Геометрия
у подобных треугольников площади равны? + или -
Ответ учителя по предмету Геометрия
Объяснение:
Площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих сторон, то есть отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
ploshchadi-podobnyh-treugolnikovДано:
[Delta ABC sim Delta {A_1}{B_1}{C_1}]
Доказать:
[frac{{{S_{Delta {A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{{S_{Delta ABC}}}} = frac{{{A_1}B_1^2}}{{A{B^2}}} = frac{{{B_1}C_1^2}}{{B{C^2}}} = frac{{{A_1}C_1^2}}{{A{C^2}}} = {k^2}]
Площадь треугольника ABC может быть найдена, например, по двум сторонам и углу между ними:
[{S_{Delta ABC}} = frac{1}{2} cdot AB cdot AC cdot sin angle A.]
Аналогично,
[{S_{Delta {A_1}{B_1}{C_1}}} = frac{1}{2} cdot {A_1}{B_1} cdot {A_1}{C_1} cdot sin angle {A_1}.]
Так как углы подобных треугольников равны, а стороны — пропорциональны, то ∠A=∠A1,
[frac{{{A_1}{B_1}}}{{AB}} = frac{{{B_1}{C_1}}}{{BC}} = k,]
то есть
[{A_1}{B_1} = k cdot AB,{B_1}{C_1} = k cdot BC.]
Теперь можем найти, как относятся площади подобных треугольников:
[frac{{{S_{Delta {A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{{S_{Delta ABC}}}} = frac{{frac{1}{2} cdot {A_1}{B_1} cdot {A_1}{C_1} cdot sin angle {A_1}}}{{frac{1}{2} cdot AB cdot AC cdot sin angle A}} = ]
[ = frac{{k cdot AB cdot k cdot ACsin angle A}}{{AB cdot AC cdot sin angle A}} = {k^2}.]
Так как
[k = frac{{{A_1}{B_1}}}{{AB}} = frac{{{B_1}{C_1}}}{{BC}} = frac{{{A_1}{C_1}}}{{AC}},]
то
[{k^2} = {(frac{{{A_1}{B_1}}}{{AB}})^2} = {(frac{{{B_1}{C_1}}}{{BC}})^2} = {(frac{{{A_1}{C_1}}}{{AC}})^2},]
то есть
[frac{{{S_{Delta {A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{{S_{Delta ABC}}}} = {(frac{{{A_1}{B_1}}}{{AB}})^2} = {(frac{{{B_1}{C_1}}}{{BC}})^2} = {(frac{{{A_1}{C_1}}}{{AC}})^2} = ]
[ = frac{{{A_1}B_1^2}}{{A{B^2}}} = frac{{{B_1}C_1^2}}{{B{C^2}}} = frac{{{A_1}C_1^2}}{{A{C^2}}}.]
Что и требовалось доказать.
Поскольку отношение любых линейных размеров (высот, медиан, биссектрис, периметров) подобных треугольников равно коэффициенту подобия, площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров.
Похожие вопросы от пользователей
S:=0;
FOR I:=1 TO 4 DO
BEGIN
MAS[I]:=I;
S:=S+MAS[I];
END;
WRITELN (S);
Сұңқар 350 км/сағ
Сұр қарлығаш 180 км/сағ
Қарлығаш 65 км/сағ
Y
Көгершін 90 км/сағ
Құр 85 км/сағ
Қараторғай 81 км/сағ
so2+o2—->so3