Вопрос школьника по предмету Математика
В треугольник ABC с полупериметром р вписана окружность, которая касается стороны АВ в точке D. Докажите, что AD = р — ВС
Ответ учителя по предмету Математика
Відповідь:
Покрокове пояснення:
Вариант 1, при АВ>BC.
а) В ∆ АВС отрезок EF — средняя линия, так как соединяет середины
сторон АВ и АС.
ЕF параллельна ВС. Отрезок MD — секущая.
Накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых секущей равны. ∠MDF=∠DMC.
По свойству касательных из одной точки СМ=CN и ∆ МСN — равнобедренный и углы при его основании MN равны (свойство): ∠NMC=∠MNC.
∠MNC=∠FND (вертикальные). Отсюда
∠MDF=∠FND. Треугольник DFN- равнобедренный с основанием DN, FN=FD. Что и требовалось доказать.
б) В любом треугольнике расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности со стороной треугольника, выходящей из данной вершины, есть разность полупериметра треугольника и стороны, противолежащей данной вершине:
То есть CN = (AC + BC+AB)/2 — AB = (AC+BC-AB)/2.
FN=FC-CN = AC/2 — (AC+BC-AB)/2 = AB/2-BC/2.
Но FN = FD (доказано выше) и
ED=EF+FD=EF+FN = BC/2+AB/2-BC/2=AB/2=BE.
Треугольник BED равнобедренный. (ВЕ=ED).
Проведем DK параллельно АВ. Тогда четырехугольник DEBK — ромб и его площадь равна S=BE²*Sin (ABC) = 100*√3/2 =50√3.
Треугольник ВЕD — половина ромба ВЕDK и его площадь равна
Sbed=25√3.
Для второго варианта, при АВ<ВС:
а). EF параллельна ВС, MN — секущая. <NDF=<NMC (соответственные углы). СМ=CN (касательные из одной точки) => треугольник MNC
равнобедренный и <NMC=<MNC (углы при основании). Отсюда <MNC=<NDF и треугольник DFN — равнобедренный с основанием ND.
FN=FD. Что и требовалось доказать.
б). CN = (AC+BC+AB)/2 — AB = (AC+BC-AB)/2.
FN=CN-CF = (AC+BC-AB)/2 — AC/2 — = BC/2-АВ/2.
Но FN = FD (доказано выше) и
ED=EF-FD=EF-FN = BC/2-BC/2+АВ/2=AB/2=BE.
То есть треугольник BED равнобедренный. (ВЕ=ED).
Проведем DK параллельно АВ. Тогда четырехугольник DEBK — ромб и его площадь равна S=BE²*Sin (ABC) = 100*√3/2 =50√3.
Треугольник ВЕD — половина ромба ВЕDK и его площадь равна
Sbed=25√3.
Похожие вопросы от пользователей
Настя была, как золотая курочка.
Большая забота о живых существах.
Какие это были умные детишки!Стрелка эта тебе вернее друга.
Палестинка, красная, а кровь.
Деревья разных пород боролись между собой.
Могучие стволы сосен стали, как зажжённые свечи в храме.
Облако, как холодная синяя стрелка.
Злой ветер.
Деревья жалобно стонали.
«Кладовая солнца»
пожалуйста ,помогите
СРОЧНО . ИМЕННО СЕГОДНЯ !!!!!
Заранее СПАСИБО!
Пётр Иванович купил американский автомобиль, спидометр которого показывает скорость в милях в час. Какова скорость автомобиля в километрах в час, если спидометр показывает 28 миль в час? Считайте, что 1 миля равна 1609 м. Ответ округлите до целого числа.