Вопрос школьника по предмету Алгебра
Для натуральнв чисел n,m k сумма n+m+k делится на 6.Докажите ,что сумма n^3+m^3+k^3 также делится на 6
Ответ учителя по предмету Алгебра
1 cпособ. n³+m³+k³=(n³-n)+(m³-m)+(k³-k)+(n+m+k)=n(n²-1)+m(m²-1)+k(k²-1)+(n+m+k)=(n-1)n(n+1)+(m-1)m(m+1)+(k-1)k(k+1)+(n+m+k).
Т.к. произведение трех последовательных чисел делится на 6 и по условию n+m+k тоже делится на 6, то все доказано.
2 cпособ. Куб числа имеет такой же остаток при делении на 6, как и само число (это легко проверить, перебрав все числа вида 6k, 6k+1, … 6k+5). По условию n+m+k делится на 6, т.е. сумма остатков от деления n, m, k делится на 6, а значит и сумма остатков кубов (у них те же остатки) тоже делится на 6.
3 способ. Если n+m+k≡0 (mod 6), то n+m≡-k(mod 6).
Значит -k³≡(n+m)³=n³+m³+3nm(n+m)≡n³+m³-3nmk (mod 6).
Т.е. n³+m³+k³≡3nmk (mod 6).
Т.к. среди чисел n, m, k обязательно есть четное (иначе их сумма была бы нечетным числом и значит не делилась бы на 6), то 3nmk≡0 (mod 6), т.е.
n³+m³+k³≡0 (mod 6).
Похожие вопросы от пользователей
1. Составь математическую модель по словесной.
Выбери все подходящие математические модели для решения задачи,
обозначив первое число за x, а второе за y..
2.Ответь на вопрос задачи.
Одно число равно
, а другое
.
(первым пиши меньшее число)
2. Изменчивость и её формы-это
3. Борьба за существование-это
4. Естественный отбор-это
5. Дивергенция( у животных)-это
6. Разновидность( животные)-это
7. Видообразование(у животных)- это
(a-3d)^2
(y-8)^2
(a-3b)(a+3b)
(x-0,2)(0,2+x)