Вопрос школьника по предмету Геометрия
45 баллов.
Основания AD и BC трапеции ABCD и боковая сторона AB равны соответственно 21, 7 и 12. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если сумма углов при основании трапеции равна 90 градусов.
Ответ учителя по предмету Геометрия
Углы при основании в сумме равны 90°, значит продолжения боковых сторон трапеции пересекаются под прямым углом и треугольник
АРD — прямоугольный.
Построение рисунка: на основании трапеции CD=21, как на диаметре, строим окружность. Тогда ЛЮБАЯ точка Р на полуокружности даст нам прямой угол. Соединим точки АР и DP прямыми и «встроим» отрезок ВС=7 в треугольник APD параллельно основанию AD.
Проведем окружность с центром в точке О через точки А и В, касающуюся прямой DP. Отметим, что таких окружностей может быть две, симметрично прямой АВ. Пусть точка K — точка касания окружности и прямой DP. Проведем прямую ОО1 параллельно прямой DP. Тогда четырехугольник ОКРН — прямоугольник со стороной ОК — искомым радиусом.
Решение.
Треугольник ВРС подобен треугольнику APD с коэффициентом подобия k=BC/AD=1/3. Тогда ВР/АР=1/3 или ВР/(АВ+ВР)=1/3.
Отсюда 3ВР=АВ+ВР => ВР= 6.
НВ=6 (так как ОН — перпендикуляр из центра окружности к хорде АВ).
Тогда НР=НВ+ВР=12. Но НР=ОК.
Ответ: R=12.
P.S. Для окружности с центром в точке О1 решение аналогично и результат тот же.
Похожие вопросы от пользователей
С подробными объяснениями пожалуйста.Буду очень благодарна.
Варианты ответа:
1—— 4/13
2—- 13/4
3—- 0,25