45 баллов.
Основания AD и BC трапеции ABCD и боковая сторона AB равны соответственно 21, 7 и 12. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если сумма углов при основании трапеции равна 90 градусов.

Вопрос школьника по предмету Геометрия

45 баллов.
Основания AD и BC трапеции ABCD и боковая сторона AB равны соответственно 21, 7 и 12. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если сумма углов при основании трапеции равна 90 градусов.

Ответ учителя по предмету Геометрия

Углы при основании в сумме равны 90°, значит продолжения боковых сторон трапеции пересекаются под прямым углом и треугольник

АРD — прямоугольный.

Построение рисунка: на основании трапеции CD=21, как на диаметре, строим окружность. Тогда ЛЮБАЯ точка Р на полуокружности даст нам прямой угол. Соединим точки АР и DP прямыми и «встроим» отрезок ВС=7 в треугольник APD параллельно основанию AD.

Проведем окружность  с центром в точке О через точки А и В, касающуюся прямой DP. Отметим, что таких окружностей может быть две, симметрично прямой АВ.  Пусть точка K — точка касания окружности и прямой DP. Проведем прямую ОО1 параллельно прямой DP. Тогда четырехугольник ОКРН — прямоугольник со стороной ОК — искомым радиусом.

Решение.

Треугольник ВРС подобен треугольнику APD с коэффициентом подобия k=BC/AD=1/3. Тогда ВР/АР=1/3 или ВР/(АВ+ВР)=1/3.

Отсюда 3ВР=АВ+ВР => ВР= 6.

НВ=6 (так как ОН — перпендикуляр из центра окружности к хорде АВ).

Тогда НР=НВ+ВР=12. Но НР=ОК.

Ответ: R=12.

P.S. Для окружности с центром в точке О1 решение аналогично и результат тот же.