25 БАЛЛОВ!!!!!!!!!!исследуйте функцию F(x)=2x^4+8/3x^3 с помощью производной и постройте график

Ответ учителя по предмету Алгебра

1)f(x)= x^4-2x^2-3;

Найдем производную

f´(x)=( x^4-2x^2-3)´=( x^4)´-2(x^2)´-(3)´=4х³-4х-0=4х³-4х=4х (х²-1)=4х (х-1)(х+1)

Найдем критические точки, т. е f´(x)=0

4х (х-1)(х+1)=0

х=0 или х=1 или х=-1

______-__-1___+______0_____-______1___+_____→Х

f´(-2)= 4*(-2)(-2-1)(-2+1)= 4*(-2)(-3)(-1)<0 ( нас интересует знак, а не число)

f´(-0,5)= 4*(-0,5)(-0,5-1)(-0,5+1)= 4*(-0,5)(-1,5)*0,5>0

f´(0,5)= 4*0,5*(0,5-1)(0,5+1)=4*0,5*(-0,5)*1,5<0

f´(2)= 4*2*(2-1)(2+1)=4*2*1*3>0

В точке х=-1 производная меняет знак с – на +, значит это точка минимума;

В точке х=0 производная меняет знак с +на -, значит это точка максимума;

В точке х=1 производная меняет знак с – на +, значит это точка минимума;

2) f(x)= x^2+3x /x+4

Найдем производную

f´(x)=( x^2+3x /x+4)´=( x^2+3x)´(х+4)- (x^2+3x)( x+4)´/ (x+4)² =(2х+3)(х+4)-(х²+3х) *1/(х+4)²=(2х²+8х+3х+12-х²-3х) /(х+4)²=(х²+8х+12)/(х+4)²=(х+2)(х+6)/(х+4)²

Найдем критические точки, т. е f´(x)=0

(х²+8х+12)/(х+4)²=0

х²+8х+12=0 и Х+4≠0; х≠-4

Д=8²-4*1*12=64-48=16; х₁=-8+√16/2=-2; х₂=-8-√16/2=-6

т. е. (х²+8х+12)/(х+4)²=(х+2)(х+6)/(х+4)², т. к. (х+4)²>0, нас интересует только знак, поэтому рассматриваем равносильное выражение (х+2)(х+6)

______+__-6___-_____-4_____-______-2___+_____→Х

f´(-7)= (-7+2)(-7+6)=-5*(-1)>0

f´(-5)= (-5+2)(-5+6)=-3*1<0

f´(-3)= (-3+2)(-3+6)=-1*3<0

f´(0)= (0+2)(0+6)=2*6>0

В точке х=-6 производная меняет знак с + на — значит это точка максимума;

В точке х=-4 производная не меняет знак, значит это точка не является точкой экстремума ;

В точке х=-2 производная меняет знак с – на +, значит это точка минимума;

Удачи!