1)3cosx=pi, 2)sin4x=3cost2x, 3)2sin^2x+sinx-1=0 , 4)3tg^2x+2tgx-1=0, 5) sinx=-3cosx

Вопрос школьника по предмету Алгебра

1)3cosx=pi, 2)sin4x=3cost2x, 3)2sin^2x+sinx-1=0 , 4)3tg^2x+2tgx-1=0, 5) sinx=-3cosx

Ответ учителя по предмету Алгебра

1) Область значений косинуса [-1;1].

3cos(x) = pi, <=> cos(x) = pi/3, но pi/3 превосходит 1, т.к. pi>3, <=> pi/3 > 1.

Тут решений нет.

2) sin(4x) = 3cos(2x),

sin(4x)≡2*sin(2x)*cos(2x), подставляем это в уравнение:

2*sin(2x)*cos(2x) = 3cos(2x), <=> 2*sin(2x)*cos(2x) — 3cos(2x) = 0, <=>

cos(2x)*( 2*sin(2x) — 3) = 0,

cos(2x) = 0, или 2*sin(2x) — 3 = 0, <=> sin(2x) = 3/2 = 1,5, но sin(2x)<=1; поэтому второе уравнение совокупности решений не имеет. Остается только cos(2x)=0; <=> 2x = (π/2) + π*n, где n — любое целое число,

разделим последнее уравнение на 2:

x = (π/4) + (π*n/2).

3) Замена sin(x) = t, и уравнение сводится к квадратному уравнению.

4) Замена tg(x) = t, и уравнение сводится к квадратному.

5) sin(x) = — 3*cos(x),

Предположим, что cos(x)=0, но тогда из данного в условии уравнения последует sin(x) = -3*0 = 0. Это невозможно, поскольку противоречит основному тригонометрическому тождеству sin^2(x) + cos^2(x)≡1, для любого икса. Поэтому cos(x) ≠ 0, поэтому разделим данное в условии уравнение на cos(x), получим

sin(x)/cos(x) = -3.

sin(x)/cos(x) ≡ tg(x)

tg(x) = -3,

x = arctg(-3) + π*n, где n — любое целое.

arctg(-3) = -arctg(3),

x = -arctg(3) + π*n.