Чрез точку S, лежащую вне сферы с площадью 64 pi см2, проведены лучи SA, SB и SC, причём углы ASB, BSC и ASC равны. Плоскости этих углов касаются данной сферы в точках, удалённых от точки S на 4корня из 3 см. Найдите расстояние от точки S до центра сферы.

Вопрос школьника по предмету Геометрия

Чрез точку S, лежащую вне сферы с площадью 64 pi см2, проведены лучи SA, SB и SC, причём углы ASB, BSC и ASC равны. Плоскости этих углов касаются данной сферы в точках, удалённых от точки S на 4корня из 3 см. Найдите расстояние от точки S до центра сферы.

Ответ учителя по предмету Геометрия

Точки касания поверхности сферы и плоскостей ASB, BSC и ASC  — это точки касания касательных к поверхности шара, проведённых из точки S.

Все касательные к сфере, проведённые из одной точки, равны. В нашем случае это 4√3 см. Касательная и радиус окружности, проведённый к точке касания, перпендикулярны, значит достаточно рассмотреть один прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара ОМ, касательной SM и искомым расстоянием SО, где SO²=SM²+ОМ².

Площадь сферы: S=4πR² ⇒ R=√(S/4π)=√(64π/4π)=4 см.

SO²=(4√3)²+4²=64,

SO=8 см — это ответ.

Построение можно представить в виде перевёрнутой правильной треугольной пирамиды без основания в которую поместили шар, касающийся своей поверхностью боковых граней пирамиды.