Вопрос школьника по предмету Геометрия
у подобных треугольников площади равны? + или -
Ответ учителя по предмету Геометрия
Объяснение:
Площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих сторон, то есть отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
ploshchadi-podobnyh-treugolnikovДано:
[Delta ABC sim Delta {A_1}{B_1}{C_1}]
Доказать:
[frac{{{S_{Delta {A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{{S_{Delta ABC}}}} = frac{{{A_1}B_1^2}}{{A{B^2}}} = frac{{{B_1}C_1^2}}{{B{C^2}}} = frac{{{A_1}C_1^2}}{{A{C^2}}} = {k^2}]
Площадь треугольника ABC может быть найдена, например, по двум сторонам и углу между ними:
[{S_{Delta ABC}} = frac{1}{2} cdot AB cdot AC cdot sin angle A.]
Аналогично,
[{S_{Delta {A_1}{B_1}{C_1}}} = frac{1}{2} cdot {A_1}{B_1} cdot {A_1}{C_1} cdot sin angle {A_1}.]
Так как углы подобных треугольников равны, а стороны — пропорциональны, то ∠A=∠A1,
[frac{{{A_1}{B_1}}}{{AB}} = frac{{{B_1}{C_1}}}{{BC}} = k,]
то есть
[{A_1}{B_1} = k cdot AB,{B_1}{C_1} = k cdot BC.]
Теперь можем найти, как относятся площади подобных треугольников:
[frac{{{S_{Delta {A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{{S_{Delta ABC}}}} = frac{{frac{1}{2} cdot {A_1}{B_1} cdot {A_1}{C_1} cdot sin angle {A_1}}}{{frac{1}{2} cdot AB cdot AC cdot sin angle A}} = ]
[ = frac{{k cdot AB cdot k cdot ACsin angle A}}{{AB cdot AC cdot sin angle A}} = {k^2}.]
Так как
[k = frac{{{A_1}{B_1}}}{{AB}} = frac{{{B_1}{C_1}}}{{BC}} = frac{{{A_1}{C_1}}}{{AC}},]
то
[{k^2} = {(frac{{{A_1}{B_1}}}{{AB}})^2} = {(frac{{{B_1}{C_1}}}{{BC}})^2} = {(frac{{{A_1}{C_1}}}{{AC}})^2},]
то есть
[frac{{{S_{Delta {A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{{S_{Delta ABC}}}} = {(frac{{{A_1}{B_1}}}{{AB}})^2} = {(frac{{{B_1}{C_1}}}{{BC}})^2} = {(frac{{{A_1}{C_1}}}{{AC}})^2} = ]
[ = frac{{{A_1}B_1^2}}{{A{B^2}}} = frac{{{B_1}C_1^2}}{{B{C^2}}} = frac{{{A_1}C_1^2}}{{A{C^2}}}.]
Что и требовалось доказать.
Поскольку отношение любых линейных размеров (высот, медиан, биссектрис, периметров) подобных треугольников равно коэффициенту подобия, площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров.
Похожие вопросы от пользователей
нарядные, так как у одной из них сегодня день
рождения. Учительница спросила: «У кого сегодня
день рождения?»
Вот что ответили подруги.
Маша «Я не именинница. Ни я, ни Катя не родились
в этот день».
Катя: «Маша – именинница. У
меня день рождения в другой
день».
Ребята сказали учительнице,
что у одной из девочек оба
высказывания истинны, у
другой – оба ложны. Кто из девочек именинница?
Обоснуй свой ответ.