У(х)=3х-1/2х+1 найдите у=(Х-1)

Вопрос школьника по предмету Математика

У(х)=3х-1/2х+1 найдите у=(Х-1)

Ответ учителя по предмету Математика

) Пусть в первом модуле стоит положительное число, то есть х-1>=0, или х>=1, где знак >= означает больше или равно. То есть х больше или равно 1. Тогда уравнение (1) примет вид у=х-1-|х+1|+х. Или у=2х-1-|х+1|.

1а) Пусть теперь и х+1>=0, то есть х>=-1. Тогда имеем у=х-1-|х+1|+х=х-1-х-1+х=х-2. Итак, получили уравнение первой прямой линии

у=х-2 (2)

При каких х справедливо это уравнение прямой линии? Мы имеем 2 неравенства х>=1 и х>=-1. Значит, уравнение (2) справедливо, только если х>=1.

2) Пусть теперь в уравнении (2) х-1<=0. Или х<=1. Тогда |х-1|=1-х. И здесь займемся вторым слагаемым в уравнении (1) |х+1|. Пусть также х+1>=0 или х>=-1. Оба неравенства можно свести в одно выражение -1<=х<=1. То есть х находится в пределах от -1 до 1. А уравнение (1) в этом промежутке для х к чему сведется? у=1-х-х-1+х=-х.

Итак, при -1<=х<=1 имеем

у=-х (3).

3) х-1<=0 и х+1<=0. Или х<=1 и х<=-1. То есть общее решение х<=-1. Тогда из нашего уравнения (1) получим у=1-х+х+1+х=х+2.

Итак в области отрицательных значений х (точнее при х<=-1) из уравнения (1) имеем

у=х+2 (4)

4) Четвертый случай. х-1>=0 и х+1<=0. Или х>=1 и х<=-1. То есть таких х не бывает.

Сведем все случаи вместе. В диапазоне х<=-1 имеем у=х+2 (4)

В центральном диапазоне -1<=х<=1 имеем у=-х (3).

И в правом диапазоне х>=1 имеем у=х-2 (2)

Хорошо бы нарисовать графики, но не успеваю. Попробуйте построить 3 прямые линии

у=х+2 (а) , у=-х (б) , и у=х-2 (в). То есть уравнение (1) дает непрерывный график из трех прямых линий.

У нас еще есть прямая линия у=kx. При каких k прямая у=kx имеет с графиком нашей функции ровно 1 общую точку? Ясно, что это прямая линия с наклоном, равным k. Подумайте. Но для этого лучше иметь перед собой график нашей функции. Ясно, что эта прямая линия у=kx должна 1 раз пересекаться с нашей кривой, которая состоит из 3 прямых линий.