Существует ли число, кратное 2011, сумма цифр которого делится на 2012? Пожалуйста, с подробным объяснением

Вопрос школьника по предмету Математика

Существует ли число, кратное 2011, сумма цифр которого делится на 2012?
Пожалуйста, с подробным объяснением

Ответ учителя по предмету Математика

Пусть
a1a2…an¯=10n-1⋅a1+10n-2⋅a2+…+an — это искомое число.

Составим математическую модель задачи, получим:
{10n-1⋅a1+10n-2⋅a2+…+an=2011za1+a2+…+an=2012k, где
n,k,z∈N. Также заметим, что
{224<n<2012z>k

{10n-1⋅a1+10n-2⋅a2+…+an=2011za1+a2+…+an=2012k Вычтем из первого уравнения второе, получим
(10n-1-1)⋅a1+(10n-2-1)⋅a2+…+(10-1)an-1=2011z-2012k. Заметим, что левая часть равенства(целая) делится на 9, значит и правая тоже должна делиться на 9.

2011z-2012k=9t⇒z-k=9t+k2011 пусть
9t+k=2011⋅r. Получим:
k=z-r⇒z+9t=2012⋅r⇒z=2012⋅r-9t

z>k+r>k. Где
t,r∈N.

След. правая часть может делиться на 9. А это значит, что существует такое число число кратное 2011, сумма цифр которого делится на 2012 .