СРОЧНО! Стороны треугольника равны 2 см и 4 см. Через центр окружности, вписанной в данный треугольник, и концы третьей стороны проведена окружность. Найдите радиус проведенной окружности, если угол между данными сторонами равен 60°.

Вопрос школьника по предмету Геометрия

СРОЧНО!
Стороны треугольника равны 2 см и 4 см. Через центр окружности, вписанной в данный треугольник, и концы третьей стороны проведена окружность. Найдите радиус проведенной окружности, если угол между данными сторонами равен 60°.

Ответ учителя по предмету Геометрия

Ответ:

1

Объяснение:

Пусть O — центр вписанной окружности треугольника ABC со сторонами AC = 1, AB = 2 и углом CAB, равным 60o. По теореме косинусов находим, что BC = $ sqrt{3}$. Значит, треугольник ABC — прямоугольный, $ angle$ACB = 90o, $ angle$ABC = 30o. Поскольку O — точка пересечения биссектрис треугольника ABC, то

$displaystyle angle$BOC = 90o + $displaystyle {textstylefrac{1}{2}}$$displaystyle angle$CAB = 90o + 30o = 120o.

Если R — искомый радиус, то

R = $displaystyle {frac{BC}{2sin angle BOC}}$ = $displaystyle {frac{sqrt{3}}{2sin 120^{circ}}}$ = 1.