Решить систему уравнений
|x^2-2x| +y =1
x^2+|y|=1

Ответ учителя по предмету Математика

Модули. 

x^2 — 2x = x(x — 2) = 0; x1 = 0; x2 = 2

Если x <= 0 или x >= 2, то x^2 — 2x >= 0; |x^2 — 2x| = x^2 — 2x

Если 0 < x < 2, то x^2 — 2x < 0; |x^2 — 2x| = 2x — x^2

Если y < 0, то |y| = -y. Если y >= 0, то |y| = y.

Получаем 4 разных системы

1) x ∈ (-oo; 0] U [2; +oo); y ∈ (-oo; 0)

{ x^2 — 2x + y = 1

{ x^2 — y = 1

Приравниваем левые части

x^2 — 2x + y = x^2 — y

-2x = -2y

x = y

Подставляем во 2 уравнение

x^2 — x — 1 = 0

D = 1 — 4(-1) = 5

x1 = (1 — √5)/2 < 0 — подходит

x2 = (1 + √5)/2 > 0 — не подходит

Решение: x1 = y1 = (1 — √5)/2

2) x ∈ (0; 2); y ∈ (-oo; 0)

{ 2x — x^2 + y = 1

{ x^2 — y = 1

Выразим y в обоих уравнениях

{ y = x^2 — 2x + 1 = (x — 1)^2

{ y = x^2 — 1 = (x — 1)(x + 1)

Приравниваем правые части

(x — 1)^2 = (x — 1)(x + 1)

x1 = 1 ∈ (0; 2) — подходит; y = (x — 1)^2 = 0 — не подходит. Это НЕ решение.

x — 1 = x + 1 — решений нет.

Решений нет.

3) x ∈ (-oo; 0] U [2; +oo); y ∈ [0; +oo)

{ x^2 — 2x + y = 1

{ x^2 + y = 1

Подставляем 2 уравнение в 1 уравнение

1 — 2x = 1

x = 0 — подходит.

y = 1 — x^2 = 1 — 0 = 1 > 0 — подходит

Решение: x2 = 0; y2 = 1

4) x ∈ (0; 2); y ∈ [0; +oo)

{ 2x — x^2 + y = 1

{ x^2 + y = 1

Выразим y в обоих уравнениях

{ y = x^2 — 2x + 1 = (x — 1)^2

{ y = 1 — x^2 = (1 — x)(1 + x) = -(x — 1)(1 + x)

Приравниваем правые части

(x — 1)^2 = -(x — 1)(1 + x)

x = 1 ∈ (0; 2) — подходит, y = 1 — x^2 = 0 ∈ [0; +oo) — подходит

x — 1 = -1 — x; 2x = 0; x = 0 ∉ (0; 2) — не подходит

Решение: x3 = 1; y3 = 0

Ответ: ((1 — √5)/2; (1 — √5)/2); (0; 1); (1; 0)