при каких значения параметра а функция у= ax³+(3/2)x²+ax возрастает всюду на R

Вопрос школьника по предмету Алгебра

при каких значения параметра а функция у= ax³+(3/2)x²+ax возрастает всюду на R

Ответ учителя по предмету Алгебра

Если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X.

Следовательно, чтобы функция возрастала на всём множестве действительных чисел, производная должна быть положительна на всей числовой оси.

Найдём производную:

f(x)=(ax³+(3/2)x²+ax)’=3ax²+3x+a

Необходимо, чтобы 3ax²+3x+a>0 для всех х.

Тогда должны выполняться два условия:

1) а>0, тогда ветви параболы будут направленны вверх.

2) D<0, тогда не будет нулей, график производной будет располагаться выше оси Ох. 

Найдём дискриминант, учитывая, что в выражении 3ax²+3x+a

первый коэффициент равен 3а, второй коэффициент равен 3, свободный член а.

D=3²-4∙3а∙а=9-12а²

9-12а²<0

4а²-3>0

Решим методом интервалов:

а1=-√3/2; а2=√3/2

/////////////////                /////////////////

-∞       -√3/2           √3/2          +∞

      +               —               +

а<-√3/2

а>√3/2

Учитывая, что а>0, получаем ответ: а>√3/2