При делении натурального числа n, меньшего 60, на числа 3, 4 и 5 получили соответственно остатки a, b и c. Докажите, что число n равно остатку от деления числа 40a + 45b + 36c на 60

Вопрос школьника по предмету Алгебра

При делении натурального числа n, меньшего 60, на числа 3, 4 и 5 получили соответственно остатки a, b и c. Докажите, что число n равно остатку от деления числа 40a + 45b + 36c на 60

Ответ учителя по предмету Алгебра

Пусть m- натуральное число, m< 60.

n:3=r(ост. а)  ⇒   n=3r+a;  0≤a<3  ⇒0 ≤40a <120

n:4=p(ост. b)  ⇒   n=4p+b;  0≤b<4  ⇒ 0 ≤45b < 180

n:5=q(ост. c)  ⇒   n=5q+c;  0≤c<5  ⇒  0 ≤36c < 180

Найдем:

40n=40·3r+40a

45n=45·4p+45b

36n=36·5q+36c

Складываем

121n=(40·3r+45·4p+36·5q)+(40a+45b+36c)

(40·3r+45·4p+36·5q) кратно 60, так как каждое слагаемое кратно 60.

121n при делении на 60 дает остаток (40a+45b+36c)

121 не делится на 60

значит n  при делении на 60 дает остаток (40a+45b+36c)