Построить с исследованием функции:
y=(x+y)^2 -4 и y=-(x-2)^2 + 9

Вопрос школьника по предмету Алгебра

Построить с исследованием функции:
y=(x+y)^2 -4 и y=-(x-2)^2 + 9

Ответ учителя по предмету Алгебра

Дана функция y=-(x-2)²
 + 9.

Алгоритм исследования свойств квадратичной функции.
1) Область определения — вся числовая ось: —∞ < x < ∞.

2) Область значений.
График данной функции — парабола ветвями вниз, максимум её находится в вершине.
Координаты вершины даны в задании:
Хо = -(-2) = 2,
Уо = 
-(2-2)^2 + 9 = 9.
То есть, у ∈ (-∞; 9].
 
3) Четность нечетность функции.
f(-x) = -(-x-2)^2 + 9 = (x+2)^2 + 9 ≠ f(x) и ≠ -f(x).

Значит, функция не чётная и не нечётная

4) Нули функции.
Приравниваем функцию нулю: 
-(x-2)^2 + 9 = 0.
Раскроем скобки: -х²+4х-4+9 = 0,

Получаем квадратное уравнение -х
²+4х+5 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:

D=4^2-4*(-1)*5=16-4*(-1)*5=16-(-4)*5=16-(-4*5)=16-(-20)=16+20=36;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x_1=(√36-4)/(2*(-1))=(6-4)/(2*(-1))=2/(2*(-1))=2/(-2)=-2/2=-1;x_2=(-√36-4)/(2*(-1))=(-6-4)/(2*(-1))=-10/(2*(-1))=-10/(-2)=-(-10/2)=-(-5)=5.

Есть 2 точки пересечения с осью Ох: х = -1 и х = 5.
5) Промежутки знакопостоянства.
Часть графика выше оси Ох имеет положительные значения, ниже оси Ох — отрицательные.
f(x) > 0 ⇒ x ∈ (-1; 5),

f(x) < 0 ⇒ x ∈ (-∞; -1) ∪ (5; +∞).

6) Промежутки монотонности.
Функция, график которой имеет ветви вниз, возрастает на промежутке от —∞ до вершины, убывает — от вершины до +∞, то есть:

— возрастает при 
x ∈ (-∞; 2),
— убывает при х ∈ (2; +∞).

7) Экстремумы функции.
Экстремум у квадратичной функции один и находится в вершине её графика — параболы.

Для заданной функции 
 y=-(x-2)^2 + 9 экстремум — это максимум и находится в точке Хо = 2. Значение функции в этой точке Умакс = 9.
8) График приведен в приложении.