Помогите решить: В выпуклом четырехугольнике ABCD длина отрезка, соединяющего середины диагоналей, равна длине отрезка, соединяющего середины сторон AD и BC. Найти величину угла, образованного продолжением сторон AB и СD.

Вопрос школьника по предмету Математика

Помогите решить: В выпуклом четырехугольнике ABCD длина отрезка, соединяющего середины диагоналей, равна длине отрезка, соединяющего середины сторон AD и BC. Найти величину угла, образованного продолжением сторон AB и СD.

Ответ учителя по предмету Математика

Пусть E- середина диагонали AC, F — середина диагонали BD, G — середина стороны AD, H — середина стороны BC.  

Рассмотрим четырехугольник FGEH. GE -средняя линия ΔCAD⇒

GE=(1/2)DC и GE║DC. Аналогично FH — средняя линия ΔCBD⇒

FH=(1/2)DC и FH║DC⇒GE=FH; GE║FH. 

Аналогично EH=GF=(1/2)AB; EH║GF║AB.

Таким образом, GEHF — параллелограмм, GH и EF — его диагонали. По условию они равны⇒ GEHF — прямоугольник, GE⊥GF⇒DC⊥AB, что и требовалось.