помогите пожалуйста ,найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке f(x)=sinx+1/2sin2x[0 3п/2]

Вопрос школьника по предмету Алгебра

помогите пожалуйста ,найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке f(x)=sinx+1/2sin2x[0 3п/2]

Ответ учителя по предмету Алгебра

f(x)=sinx+(1/2)sin2x
Н
аибольшее и наименьшее значение функции на отрезке надо искать среди экстремумов функции и на границах отрезка.

Ищем экстремумы функции, для этого берем производную и приравниваем ее к 0.
f'(x)=cosx+cos2x
cosx+cos2x=0

cosx+cos²x-sin²x=0

cosx+cos²x-(1-cos²x)=0

cosx+cos²x-1+cos²x=0

2cos²x+cosx-1=0

заменим y=cosx

2y²+y-1=0

D=1+4*2=9

√D=3

y₁=(-1-3)/4=-1

y₂=(-1+3)/4=1/2

cosx₁=-1,  x₁=π+2πn, где n — целое

cosx₂=1/2, x₂=+-π/3+2πn

точки экстремумов на отрезке
[0; 3п/2] будут π/3 и π
f(0)=0
f(π/3)=√3/2+(1/2)*√3/2=
2√3/4+√3/4=3√3/4 -максимум
f(π)=0

f(3π/2)=-1 -минимум

ответ: минимум в точке (3π/2;
-1) максимиум в точке (π/3;
3√3/4)