Пожалуйста, помогите решить
4^x-9+(11*4^x-52)/(16^x-7*4^x+10) = 1/(4^x-5 )

Вопрос школьника по предмету Математика

Пожалуйста, помогите решить
4^x-9+(11*4^x-52)/(16^x-7*4^x+10) = 1/(4^x-5 )

Ответ учителя по предмету Математика

Замена 4^x = y > 0 при любом x, тогда 16^x = y^2

y — 9 + (11y — 52)/(y^2 — 7y + 10) = 1/(y — 5)

Общий знаменатель y^2 — 7y + 10 = (y — 2)(y — 5)

(y — 9)(y^2 — 7y + 10) + (11y — 52) = (y — 2)

y^3 — 9y^2 — 7y^2 + 63y + 10y — 90 + 11y — 52 — y + 2 = 0

y^3 — 16y^2 + 83y — 140 = 0

Здесь можно воспользоваться схемой Горнера.

Возможные корни: 1; 2; 4; 5; 7; 10; 14; 20; 28; 35; 70; 140.

y | 1 | -16 | 83 | -140

1 | 1 | -15 | 68 | -72

2 | 1 | -14 | 55 | -30

4 | 1 | -12 | 35 | 0

y1 = 4^x = 4; x1 = 1

y^2 — 12y + 35 = 0

(y — 5)(y — 7) = 0

y2 = 4^x = 5; x2 = log4 (5)

y3 = 4^x = 7; x3 = log4 (7)

Если схема Горнера не нравится, можно решить разложением на множители.

y^3 — 16y^2 + 83y — 140 = 0

y^3 — 4y^2 — 12y^2 + 48y + 35y — 140 = 0

(y — 4)(y^2 — 12y + 35) = 0

(y — 4)(y — 5)(y — 7) = 0

Получаем тоже самое.