Пенсионерки на одной из планет системы Альфа Центавра любят раскрашивать клетки досок 2016×2016 золотыми и серебряными красками. Однажды оказалось, что у всех раcкрашенных в один из дней досок в каждом квадрате 3×3 было ровно по A золотых клеток, а в каждом прямоугольнике 2×4 или 4×2 — ровно по Z золотых клеток. При каких A и Z это возможно?

Ответ учителя по предмету Алгебра

Доска со сторонами 2016 на 2016 имеет 2016*2016=4 064 256 клеток. В ней поместится 3х3 квадратов 4 064 256/(3*3)=451 584=(2^10)*(3^2)*(7^2) и

может поместится 2х4 прямоугольников 4 064 256/(2*4)=508 032=

=(2^7)*(3^4)*(7^2). В каждом квадрате А золотых клеток значит всего в квадратах может быть А*(2^10)(3^2)*(7^2), при этом Z золотых клеток в прямоугольнике дают Z*(2^7)*(3^4)*(7^2). Получаем уравнение

А(2^10)(3^2)(7^2)=Z(2^7)(3^4)(7^2) после сокращения получим

8A=9Z отсюда А=9 Z=8 при других значениях A и Z c условием, что A<=9 и Z<=8 равенство не получается. Все клетки выходит закрашены)