Нужно найти объем правильной треугольной пирамиды,апофема которой равна b и образовывает угол α с плоскостью основания пирамиды.

Вопрос школьника по предмету Геометрия

Нужно найти объем правильной треугольной пирамиды,апофема которой равна b и образовывает угол α с плоскостью основания пирамиды.

Ответ учителя по предмету Геометрия

Объем вычисляется по формуле: V=h*a^2/4 корня из 3. Найдем высоту пирамиды из прямоугольного треугольника образованного высотой, апофемой и основанием: sinα=h/b => h=sinα*b. Высота опускается в центр основания -точку, равноудаленную от всех вершин. То есть h1=2*h*cosα=2sinα*b*cosα, где h1-высота основания пирамиды. Углы при основании треугольника =60 гр. ctg60=(a/2)/h1. Отсюда a=2*h1*ctg60. Подставляем в формулу V=sinα*b*(2*2*sinα*b*cosα*ctg60)^2/4 корня из 3=4b^3*sinα^3*cosα^2/3корня из 3.