Найдите, при какой значении a уравнение х²+(а+4)x-a+16=0 имеет два положительных корня, один из которых в два раза больше другого.

Вопрос школьника по предмету Математика

Найдите, при какой значении a уравнение х²+(а+4)x-a+16=0 имеет два положительных корня, один из которых в два раза больше другого.

Ответ учителя по предмету Математика

Пусть эти корни равны t и 2t. Тогда по теореме Виета

t + 2t = -a — 4

t * 2t = -a + 16

Из первого уравнения t = — (a + 4)/3. Подставляем значение t во второе уравнение.

2/9 * (a + 4)^2 = -a + 16

a^2 + 8a + 16 = -9a/2 + 72

2a^2 + 25 a — 112 = 0

D = 25^2 + 4 * 2 * 112 = 625 + 896 = 1521 = 39

a = (-25 +- 39)/4

a = 7/2 или a = -16.

Проверяем:

a = 7/2: уравнение x^2 + 15/2 x + 25/2 = 0 имеет два отрицательных корня, не подходит

a = -16: уравнение x^2 — 12x + 32 = 0 имеет корни 4 и 8, подходит.

Ответ. a = -16.