найдите наименьшее значение выражения                                  ( 5x-4y+3)^2 + (3x-y-1)^2И значения x и y, при которых оно достигается.

Вопрос школьника по предмету Алгебра

найдите наименьшее значение выражения                                  ( 5x-4y+3)^2 + (3x-y-1)^2И значения x и y, при которых оно достигается.

Ответ учителя по предмету Алгебра

Берем частные поризводные и приравниваем к 0

z(x, y) = (5x — 4y + 3)^2 + (3x — y — 1)^2

dz/dx = 2(5x — 4y + 3)*5 + 2(3x — y — 1)*3 = 10(5x — 4y + 3) + 6(3x — y — 1) = 0

dz/dy = 2(5x — 4y + 3)*(-4) + 2(3x — y — 1)*(-1) = -8(5x — 4y + 3) — 2(3x — y — 1) = 0

Решаем систему

{ 50x — 40y + 30 + 18x — 6y — 6 = 0

{ -40x + 32y — 24 — 6x + 2y + 2 = 0

Приводим подобные и сокращаем на 2

{ 34x — 23y + 12 = 0

{ -23x + 17y — 11 = 0

Умножаем 1 ур на 17, а 2 на 23

{ 578x -23*17y + 204 = 0

{ -529x + 23*17y — 253 = 0

Складываем уравнения

49x — 49 = 0, x = 1

23y = 34 + 12 = 46, y = 2

Точка минимума: x = 1, y = 2

z(1, 2) = (5 — 8 + 3)^2 + (3 — 2 — 1)^2 = 0 + 0 = 0