найдите наибольшее и наименьшее значения функции
y=2x+sin^2x-cos^2x на отрезке [0;п]

Вопрос школьника по предмету Математика

найдите наибольшее и наименьшее значения функции
y=2x+sin^2x-cos^2x на отрезке [0;п]

Ответ учителя по предмету Математика

y(x)=2*x+sin²x-cos²x=2*x-(cos²x-sin²x)=2*x-cos(2*x). 

Производная y'(x)=2+2*sin(2*x). Приравнивая её к 0, получаем уравнение 2+2*sin(2*x)=0, откуда sin(2*x)=-1. Тогда 2*x=3*π/2 и x=3*π/4 -критическая точка. Однако так как везде, кроме этой точки, на интервале [0;π] y’>0, то при переходе через критическую точку производная не меняет знак. А так как она положительна, то на этом интервале функция y(x) монотонно возрастает и потому принимает наименьшее значение в точке x=0 и наибольшее — в точке x=π. Значит, Ymin=y(0)=-1 и Ymax=y(π)=2*π-cos(2*π)=2*π-1. Ответ: Ymin=-1, Ymax=2*π-1.