найдите исходящие из одной вершины диагонали правильного двенадцатиугольника, вписаного в окружность 8 см

Вопрос школьника по предмету Геометрия

найдите исходящие из одной вершины диагонали правильного двенадцатиугольника, вписаного в окружность 8 см

Ответ учителя по предмету Геометрия

Количество диагоналей N, исходящих из одной вершины  многоугольника, находят  по формуле: 

N = n – 3, где n — число вершин многоугольника.. 

Для 12-ти угольника N=12-3=9. (См. рисунок приложения)

Самая длинная  диагональ  правильного двенадцатиугольника — диаметр описанной вокруг него окружности. 

Самая короткая  равна радиусу описанной окружности.

Если соединить вершины данного 12-угольника через две, получим квадрат ТВЕМ.  Диаметр описанной вокруг квадрата окружности равен диагонали квадрата. Сторона  ВЕ вписанного в окружность квадрата равна R√2 

Соединив вершины данного многоугольника через 3, получим правильный треугольник РВF.  В ∆ МВF угол MFB опирается на диаметр и равен 90°.  BM делит угол при вершине В пополам, МВF=30º, диагональ BF=ВМ•cos30º=2R•√3/2=R√3

Диагональ ВК- сторона равнобедренного ∆ NBK. NК равна стороне вписанного шестиугольника и равна R. Центральный угол NOK=60º, угол NBK как вписанный равен 30°. ВМ делит угол NBK пополам.  

В ∆ МВК угол ВКМ опирается на диаметр и равен 90°. ВК=2R•соs15º=R•(√3+1)/2√2 ( таково точное значение косинуса 15°).

Итак, длина диагоналей:

BD=BH=R

BE=BT=R√2

BM=2R

BF=BP=R √3

BK=BN=R•(√3+1)/2√2 

—————

Из условия неясно, 8 см — радиус или длина окружности. Скорее всего,  R=8 см. Тогда в найденные длины диагоналей нужно вместо R подставить 8. 

Если 8 см=длина окружности, тогда из формулы С=2πR радиус R=4/π