МN-хорда кола з центром у точці О, Р-н середина МN. У цьому колі проведено радіуси ОN і ОК, який проходить через точок Р. KNP=35°.Зайти кути трикутника РNO. Буду дуже вдячна за допомогу.​

Вопрос школьника по предмету Геометрия

МN-хорда кола з центром у точці О, Р-н середина МN. У цьому колі проведено радіуси ОN і ОК, який проходить через точок Р. KNP=35°.Зайти кути трикутника РNO. Буду дуже вдячна за допомогу.​

Ответ учителя по предмету Геометрия

Ответ:

В Δ OPN

∠O=70°

∠P=90°

∠N=20°

Объяснение:

План решения:

1. доказывем,что ΔOPN — прямоугольный (∠P=90°)

2.нахoдим угол ∠ONK

3. от ∠ONK отнимаем заданный в условии ∠PNK и получам  ∠N (в Δ ONP).

4. два угла найдены, находим ∠ O=90°- ∠ N (в Δ ONP).

Решение.

1. Определим, чему равен ∠ OPN. Для чего проведем радиус в точку M.

Рассмотрим Δ MON. Этот треугольник — равнобедренный с основанием [MN], и боковыми сторонами [OM] и [ON] (т.к.l ON l = l OM l, как радиусы окружности).

Итак в равнобедренном Δ MON на основание опущена медиана [OP] (по условию l MP l=l NP l). а у равнобедренного треугольника медиана, опущенная на основание совпадает и с бисектриссой и с высотой (свойства равнобедренных треугольников)! А раз [OP] — это и высота, то ∠ OPN = ∠ OPM = 90 ° (по определению высоты треугольника). Значит ΔONP  и ΔKNP — прямоугольные!

2. Теперь рассмотрим прямоугольный Δ KNP.  Его углы:

∠ KNP =35° (по условию), ∠ KPN =90°, следовательно  

∠ PKN=180°-90°-35°=55°.

3. Теперь рассмотрим Δ KNO. Этот треугольник равнбедренный с боковыми сторонами [OK] = [ON] , как радиусы окружности. В этом равнобедренном треугольнике угол при основании ∠ OKN = ∠ PKN (отрезок [PO]l ∈  [OK] — т.е. это один и тот же угол). Следовательно ∠ ONK = ∠ OKN = ∠ PKN = 55° (углы при основании равнобедренного треугольника).

А ∠ ONK= ∠ KNP + ∠ ONP;

∠ ONP = ∠ ONK — ∠ KNP

∠ ONP = 55° — 35° =20°;

4. И наконец рассмотрим Δ ONP.

В нем угол ∠P =90°. ∠ONP=20°.Следовательно

∠PON = 180° — 90° — 20° = 70°. Все.